建立数学模型感受数学魅力
——《植树问题》教学实录
字数：2717
2025-08-10
版名：教育理论
□陈芝茜
《植树问题》是人民教育出版社出版的五年级上册数学教材第七单元“数学广角”的内容，属于数学思想与方法的范畴。“植树问题”也叫“植树模型”，其本质是点与线段之间的对应问题。在学习中，学生通过画图建立植树问题的数学模型，在建模的过程中感悟其中蕴含的数学基本思想与方法，逐渐学会用数学的方式思考，培养数学核心素养。
【教学过程】
一、情境创设，感知模型
1.认识间隔、间隔数、间距
师：瞧！阅兵仪式上，中国人民解放军三军仪仗队迈着整齐的步伐走来。在精彩的阅兵式中，隐藏着许多数学知识。你能从图中获得哪些数学信息？
生：两个标兵之间的距离是一样的。
师：我们把物体与物体之间的距离叫做间距。把相邻物体之间的空隙叫做间隔。从左边开始数，第一名到第五名标兵之间一共有几个间隔？
生：4个。
师：4个就是间隔的数量，我们把它叫做——间隔数。
2.生活中的间隔
出示手指、灯笼图片。
师：整齐的队伍中有间隔，那这些图片中的间隔在哪里？数一数，分别有几个间隔。
生：相邻两根手指之间的空隙就是间隔，5根手指有4个间隔。
……
师：如果我把灯笼缩小成点，放在线段图上，间隔、间距分别在哪里？
生：间隔在两个相邻的点之间，间距是两个相邻的点之间线段的长度。
师：下面，就让我们一起探究生活中的植树问题。
二、自主探索，建构模型
1.化繁为简，初步感知
出示问题：同学们在长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽）。一共要栽多少棵树？
师：读完题后，同桌两人先说一说“100米”“每隔5米栽一棵”分别表示什么？同学们是怎样植树的？
生1：100米表示小路的总长，5米指的是树与树之间的间距。
生2：同学们只在小路的一边栽树，且要在路的起点和终点都栽。
师：请大家猜一猜，一共要栽多少棵树呢？你们是怎样想的？
学生自由发言。
师：到底可以种几棵树？你有什么好办法来验证？
生1：可以用画图方式验证。
生2：如果用一条线段表示100米的小路，每隔5米栽一棵，照这样画下去很麻烦。
师：为什么觉得很麻烦？
生：因为100米里面有20个5米，太多了。
师：也就是说100米这个数据有点大，我们可以先从简单的数据入手，选取多少米研究呢？
生：20米、10米。
师：不能选取其他数据吗？
生：因为要每隔5米栽一棵，且两端都要栽，所以小路的长度必须是5的倍数。因此，25米、15米、5米都可以。
师：下面请小组合作，任选两个数据，完成表格。
2.动手操作，感知规律
请小组上台完成表格并汇报交流。
师：观察表格，你有什么发现？
生1：总长÷间距＝间隔数。
生2：间隔数＋1＝棵树。
师：在两端都栽的情况下，棵数为什么会比间隔数多1呢？
生：因为一棵树对应一个间隔，最后一棵树没有对应的间隔，所以棵树比间隔数多1。
师：给间隔数加1，加的是什么？
生：少的一个间隔数。
师：到底是不是这样呢？以15米为例，我们一起来数一数。
生：树，间隔，树，间隔，树，间隔，树。
师：像这样，一棵树对应一个间隔，我们把它叫做什么？
生：一一对应。
师：在100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？不画图你们能快速解决吗？请列式解答。
生:能栽21棵树，100÷5＝20（个），20＋1＝21（棵）。
3.类比迁移，构建模型
师：同学们，如果以15米为例，除了我们前面探究的两端都栽的植树问题，你还想到了怎么种树？下面分小组研究，3分钟后全班交流。
小组1：我们小组发现，当起点或终点不栽时，一棵树对应一个间隔，有3个间隔就有3棵数，间隔数＝棵树。
小组2：当起点和终点都不栽树时，我们发现，一个间隔对应一棵树，最后多出一个间隔，有2棵树，3个间隔，棵树＝间隔数-1。
三、灵活运用，内化理解
1.“树”在哪里
师：同学们，我们可以把每幅图片上的什么看成“树”呢？
生：衣服纽扣、军人、风力发电机。
师：其实植树问题在生活中非常普遍，有真的树、假的树、想象的树……所有的植树问题研究的都是点和间隔的关系。
2.内化应用
（ 1）为了推进绿色能源发展，某地区在一条长1800米的笔直海岸线一旁安装风力发电机，每相邻两台风力发电机间隔60米，并且两端都装。一共需要安装多少台？
（ 2）阅兵仪式上，空中梯队进行展示，一个战斗机编队总长度为350米，共有8架战斗机，相邻两架战斗机的距离是多少米？
学生根据前面学习的知识进行计算。
四、畅谈收获，全课总结
师：同学们真了不起！用“植树问题”的智慧巧妙解决了风力发电机安装和战斗机编队间距的问题。通过今天的学习，你有什么收获？
学生总结本节课内容，谈收获。
师：除了技能和方法，还有其他方面的收获吗？
生1：阅兵仪式上，翱翔蓝天的战斗机间距精准，展现的不仅是数学之美，更是我国国防科技实力的飞跃。
生2：风力发电机提醒我们，增强环保意识，为我国实现“碳中和”贡献自己的力量。
……
师：大家的感受真深刻！今天所学的植树问题只是冰山一角，还有封闭图形、棋盘、方阵，甚至享誉世界的20棵树问题。希望同学们学好数学，未来用智慧和汗水，为国家的繁荣富强添砖加瓦，让我们的祖国在科技、能源、国防等领域不断创造新的辉煌！
点评
陈老师的这节课例以核心素养为指针，以生活情境为线索，以数学活动为载体，以数学思想为根本，整个活动过程引导学生深入思考，促进学生高阶思维的形成，呈现出以下亮点：
以情境为线索，点燃学生学习热情。以阅兵仪式情境导入，引导学生深刻理解间隔、间隔数、间距，探究在一条路两端植树时树的棵树与间隔数的关系。特别是练习环节的情境设计非常巧妙，融入看得见的“假”树，引导学生把生活中的植树现象“情境化”，辨别具体情境中“路”在哪里，什么相当于“树”。自始至终，学生学习兴趣高涨。
以活动为载体，引导学生深入思考。学生充分经历了画一画、说一说、算一算、议一议等一系列探究活动，获得了解决问题的策略，积累了解决问题的经验，在数学实践活动中提升了动手、动脑能力，培养了数学思维。
以数学思想为本，发展学生核心素养。陈老师将数学思想与方法渗透到教学全过程中，将解决植树问题作为渗透数学思想方法的一个学习支点，在探究植树问题规律的过程中，引导学生充分感悟化繁为简、一一对应、数形结合、模型思想等。学生在学习过程中，“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，体会到数学学习的价值。
以“课程思政”为径，践行学科育人目标。在这节课中，陈老师挖掘了符合学生认知规律的德育内容，彰显学科育人的独特价值。如借助阅兵、风力发电机情境让爱国主义教育、环保教育根植于学生内心，有效促进思维与价值观的全面发展。
总之，这节课以“植一棵树”为开端，以“育一片林”为终点，让学生在解决生活问题中感悟数学思想、数学模型的力量。若能进一步融入技术工具与文化元素，必能让学生在“做数学”的过程中，发展高阶思维和数学核心素养。
（点评教师：陕西省宝鸡市教学能手马俊娟）
《植树问题》是人民教育出版社出版的五年级上册数学教材第七单元“数学广角”的内容，属于数学思想与方法的范畴。“植树问题”也叫“植树模型”，其本质是点与线段之间的对应问题。在学习中，学生通过画图建立植树问题的数学模型，在建模的过程中感悟其中蕴含的数学基本思想与方法，逐渐学会用数学的方式思考，培养数学核心素养。
【教学过程】
一、情境创设，感知模型
1.认识间隔、间隔数、间距
师：瞧！阅兵仪式上，中国人民解放军三军仪仗队迈着整齐的步伐走来。在精彩的阅兵式中，隐藏着许多数学知识。你能从图中获得哪些数学信息？
生：两个标兵之间的距离是一样的。
师：我们把物体与物体之间的距离叫做间距。把相邻物体之间的空隙叫做间隔。从左边开始数，第一名到第五名标兵之间一共有几个间隔？
生：4个。
师：4个就是间隔的数量，我们把它叫做——间隔数。
2.生活中的间隔
出示手指、灯笼图片。
师：整齐的队伍中有间隔，那这些图片中的间隔在哪里？数一数，分别有几个间隔。
生：相邻两根手指之间的空隙就是间隔，5根手指有4个间隔。
……
师：如果我把灯笼缩小成点，放在线段图上，间隔、间距分别在哪里？
生：间隔在两个相邻的点之间，间距是两个相邻的点之间线段的长度。
师：下面，就让我们一起探究生活中的植树问题。
二、自主探索，建构模型
1.化繁为简，初步感知
出示问题：同学们在长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽）。一共要栽多少棵树？
师：读完题后，同桌两人先说一说“100米”“每隔5米栽一棵”分别表示什么？同学们是怎样植树的？
生1：100米表示小路的总长，5米指的是树与树之间的间距。
生2：同学们只在小路的一边栽树，且要在路的起点和终点都栽。
师：请大家猜一猜，一共要栽多少棵树呢？你们是怎样想的？
学生自由发言。
师：到底可以种几棵树？你有什么好办法来验证？
生1：可以用画图方式验证。
生2：如果用一条线段表示100米的小路，每隔5米栽一棵，照这样画下去很麻烦。
师：为什么觉得很麻烦？
生：因为100米里面有20个5米，太多了。
师：也就是说100米这个数据有点大，我们可以先从简单的数据入手，选取多少米研究呢？
生：20米、10米。
师：不能选取其他数据吗？
生：因为要每隔5米栽一棵，且两端都要栽，所以小路的长度必须是5的倍数。因此，25米、15米、5米都可以。
师：下面请小组合作，任选两个数据，完成表格。
2.动手操作，感知规律
请小组上台完成表格并汇报交流。
师：观察表格，你有什么发现？
生1：总长÷间距＝间隔数。
生2：间隔数＋1＝棵树。
师：在两端都栽的情况下，棵数为什么会比间隔数多1呢？
生：因为一棵树对应一个间隔，最后一棵树没有对应的间隔，所以棵树比间隔数多1。
师：给间隔数加1，加的是什么？
生：少的一个间隔数。
师：到底是不是这样呢？以15米为例，我们一起来数一数。
生：树，间隔，树，间隔，树，间隔，树。
师：像这样，一棵树对应一个间隔，我们把它叫做什么？
生：一一对应。
师：在100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？不画图你们能快速解决吗？请列式解答。
生:能栽21棵树，100÷5＝20（个），20＋1＝21（棵）。
3.类比迁移，构建模型
师：同学们，如果以15米为例，除了我们前面探究的两端都栽的植树问题，你还想到了怎么种树？下面分小组研究，3分钟后全班交流。
小组1：我们小组发现，当起点或终点不栽时，一棵树对应一个间隔，有3个间隔就有3棵数，间隔数＝棵树。
小组2：当起点和终点都不栽树时，我们发现，一个间隔对应一棵树，最后多出一个间隔，有2棵树，3个间隔，棵树＝间隔数-1。
三、灵活运用，内化理解
1.“树”在哪里
师：同学们，我们可以把每幅图片上的什么看成“树”呢？
生：衣服纽扣、军人、风力发电机。
师：其实植树问题在生活中非常普遍，有真的树、假的树、想象的树……所有的植树问题研究的都是点和间隔的关系。
2.内化应用
（ 1）为了推进绿色能源发展，某地区在一条长1800米的笔直海岸线一旁安装风力发电机，每相邻两台风力发电机间隔60米，并且两端都装。一共需要安装多少台？
（ 2）阅兵仪式上，空中梯队进行展示，一个战斗机编队总长度为350米，共有8架战斗机，相邻两架战斗机的距离是多少米？
学生根据前面学习的知识进行计算。
四、畅谈收获，全课总结
师：同学们真了不起！用“植树问题”的智慧巧妙解决了风力发电机安装和战斗机编队间距的问题。通过今天的学习，你有什么收获？
学生总结本节课内容，谈收获。
师：除了技能和方法，还有其他方面的收获吗？
生1：阅兵仪式上，翱翔蓝天的战斗机间距精准，展现的不仅是数学之美，更是我国国防科技实力的飞跃。
生2：风力发电机提醒我们，增强环保意识，为我国实现“碳中和”贡献自己的力量。
……
师：大家的感受真深刻！今天所学的植树问题只是冰山一角，还有封闭图形、棋盘、方阵，甚至享誉世界的20棵树问题。希望同学们学好数学，未来用智慧和汗水，为国家的繁荣富强添砖加瓦，让我们的祖国在科技、能源、国防等领域不断创造新的辉煌！
点评
陈老师的这节课例以核心素养为指针，以生活情境为线索，以数学活动为载体，以数学思想为根本，整个活动过程引导学生深入思考，促进学生高阶思维的形成，呈现出以下亮点：
以情境为线索，点燃学生学习热情。以阅兵仪式情境导入，引导学生深刻理解间隔、间隔数、间距，探究在一条路两端植树时树的棵树与间隔数的关系。特别是练习环节的情境设计非常巧妙，融入看得见的“假”树，引导学生把生活中的植树现象“情境化”，辨别具体情境中“路”在哪里，什么相当于“树”。自始至终，学生学习兴趣高涨。
以活动为载体，引导学生深入思考。学生充分经历了画一画、说一说、算一算、议一议等一系列探究活动，获得了解决问题的策略，积累了解决问题的经验，在数学实践活动中提升了动手、动脑能力，培养了数学思维。
以数学思想为本，发展学生核心素养。陈老师将数学思想与方法渗透到教学全过程中，将解决植树问题作为渗透数学思想方法的一个学习支点，在探究植树问题规律的过程中，引导学生充分感悟化繁为简、一一对应、数形结合、模型思想等。学生在学习过程中，“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”，体会到数学学习的价值。
以“课程思政”为径，践行学科育人目标。在这节课中，陈老师挖掘了符合学生认知规律的德育内容，彰显学科育人的独特价值。如借助阅兵、风力发电机情境让爱国主义教育、环保教育根植于学生内心，有效促进思维与价值观的全面发展。
总之，这节课以“植一棵树”为开端，以“育一片林”为终点，让学生在解决生活问题中感悟数学思想、数学模型的力量。若能进一步融入技术工具与文化元素，必能让学生在“做数学”的过程中，发展高阶思维和数学核心素养。
（点评教师：陕西省宝鸡市教学能手马俊娟）
